計算機圖形學二：觀測變換 Viewing transformation
本章內容：
三維變換 3D transformations
羅德里格斯旋轉公式 Rodrigues' rotation formula
模型變換 modeling tranformation
視圖變換 camera/view transformation
投影變換（正交、透視）projection tranformation
視口變換 viewport tranformation
變換模型代碼(c++) C++ Code
第二章 視圖、投影變換
上一章節內容：
什麼是變換矩陣
二維空間的變換：旋轉rotation、縮放scale、剪切shear
齊次座標系Homogeneous coordinates
上一章的內容比較基礎，理解難度不大。本章相較於上一章節，難度較大。
這一章內容：
三維變換 3D transformations
羅德里格斯旋转公式 Rodrigues' rotation formula（難點）
觀測變換（視圖變換） Viewing transformation
模型變換 modeling tranformation
攝像機/視圖變換 camera/view transformation
投影變換 projection tranformation
正交變換 Orthographic projection
透視變換 Perspective projection（難點）
視口變換 viewport tranformation
變換模型代碼(c++) C++ Code
2.1 3D變換 3D Transformations
3D座標 = $(x,y,z,1)^T$
3D向量 = $(x,y,z,0)^T$
在齊次座標系中， $\left(\begin{array}{}x\y\z\w\end{array}\right)$代表三維空間中的一個點$\left(\begin{array}{}x/w\y/w\z/w\1\end{array}\right),w\ne0$ .
用4x4的矩陣表示三位仿射變換：
2.1.1 縮放與平移 Scale&Translation
基本與二維的旋轉類似。
縮放 Scale
平移 Translation
2.1.2 拉伸 Shear
可以僅僅進行二維的拉伸：
與2D變換一樣，任何3D變換矩陣都可以用SVD分解為旋轉、縮放和旋轉。任何對稱的3D矩陣都具有旋轉、縮放和逆旋轉的特征值分解。最後，三維旋轉可分解為三維拉伸（Shear）矩陣的乘積。
2.1.3 旋轉 Rotate
比二維旋轉複雜得多，因為可能旋轉的軸更多。但是，我們如果只想繞著某一個軸旋轉，則只會改變另外兩個軸。
2.1.3.1 繞一個軸旋轉
比方說，我們繞z軸旋轉，則只需要改變x和y軸，z軸保持不動（右側是基於齊次座標下的，下面同理）：
類似的，繞x軸則只改變y和z：
繞y軸同理：
但是我們發現，y軸 (9),(10) 這裡的有一些奇怪。
思考：為什麼繞著y軸旋轉時，方向是負的呢？
提示：x軸叉乘z軸，等於-y。
2.1.3.2 復合旋轉
將 $\mathbf{R}_x(\alpha),\mathbf{R}_y(\alpha),\mathbf{R}_z(\alpha)$ 復合：
即歐拉角 Euler angles。
四元數不在本章節討論範圍。
2.1.3.3 羅德里格斯旋转公式 Rodrigues' rotation formula
公式的作用：把任意的旋轉都寫成矩陣的形式。
繞$n$軸旋轉角度$\alpha$:
其中，$n$軸默認是過圓點$(0,0)$的且是單位向量；$N=n^*$，即$N$是$n$的矩陣形式（需要可以回顧上一章節 1.2.7 的內容）。
推導思路：假設是向量$a$繞著n軸旋轉至**$b$，則將$a$**分解為平行於n軸的分量（發現是不變的）加上垂直於n軸的分量。
詳細推導過程：https://www.bilibili.com/video/BV1Eu411r7GC/
2.2 觀測變換 View Transformation
前面的內容，我們學習了如何使用矩陣變換在2D或3D空間中對物體進行旋轉、平移、縮放和裁切等一系列幾何變換（geo- metric transformations）操作。幾何變換的第二個用途就是用於觀測變換，也就是一種3D到2D的映射。下圖展示了將對象從原始座標轉換到屏幕空間的空間和變換序列：
如圖所示，觀測變換分為四個步驟：
模型變換 modeling tranformation
攝像機/視圖變換 camera/view transformation
投影變換 projection transformation
視口變換 viewport transformation
提取上面三個步驟的首字母，MVP，也就很容易記住觀測變換的三大步驟了。
接下來，我們依次講解。
2.2.1 模型變換 modeling tranformation
調整場景中模型的位置、大小、旋轉至合適的形態
2.2.2 攝像機/視圖變換 camera/view transformation
我們把計算機圖形想像成一個攝影的過程，攝像機就是鏡頭的中心。
攝像機/視圖變換（下文簡稱攝像機變換）的目的是，獲取所有在攝像機視線範圍的物體與攝像機之間的相對位置。非常直觀的做法就是以攝像機為中心，換一句話說，就是把攝像機調整至世界座標的原點上。怎麼讓攝像機與世界座標原點重合呢？
2.2.2.1 攝像機定義
攝像機的位置 $e$
注視的角度 $g$
攝像機上方向 $t$
通過上面三個定義，即可建立以$e$為原點，基底為 $u,v,w$ 的攝像機座標系（如下圖所示）。
$u,v,w$ 分別對應笛卡爾座標系中的 $x,y,z$
$g$ 向量對應 $z$ 軸（ $w$ 軸）的負方向
$e$ 向量對應座標原點
2.2.2.2 將相機座標系移動至原世界座標系的原點
分為兩個步驟：
將相機移動至原點
通過旋轉矩陣將座標系重合
第一步非常簡單，只需要將當前相機座標減去相機座標，即： $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -x_e \0 & 1 & 0 & -y_e \0 & 0 & 1 & -z_e \0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ .
第二步，由於旋轉變換矩陣是一種正則基矩陣（正交矩陣 The orthogonal matrix），矩陣 $M^T=M^{-1}$ ，所以將單位矩陣$I$旋轉至當前相機狀態的矩陣的逆矩陣則是： $\left[\begin{array}{cccc}x_u & y_u & z_u &0 \x_v & y_v & z_v & 0 \x_w & y_w & z_w & 0 \0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ .
所以，定義相機變換矩陣 $M_{cam}$ ：
2.2.3 投影變換 projection transformation
https://stackoverflow.com/questions/36573283/from-perspective-picture-to-orthographic-picture
投影變換分為正交投影變換和透視投影變換。
投影變換，簡單的說就是3D->2D的變換。
2.2.3.1 正交投影變換 The Orthographic Projection Transformation
攝像機在世界座標原點，看向 $-Z$ 軸， 正上方是 $Y$ 軸。
將某可視區域長方體壓縮至 $[-1,1]^3$
定義這個長方體，即攝像機可視空間：
x = l ≡ left plane,
x = r ≡ right plane,
y = b ≡ bottom plane,
y = t ≡ top plane,
z = n ≡ near plane,
z = f ≡ far plane.
則很容易推倒出將長方體變換到中心是$(0,0,0)$ 且所在區域是 $[-1,1]^3$ 的變換矩陣$M_{orth}$：
2.2.3.2 透視投影變換 Perspective Projection
透視和正交的區別（左透視、右正交）：
透視投影過程很簡單，我們先將Frustum“壓縮”成Cuboid，也就是先將透視投影轉換為正交投影，然後就可以利用2.2.3.1的知識做投影變換了。
壓縮如下圖所示。我們需要找出“壓縮”這一步的變換矩陣$M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}^{(4 \times 4)}$。
求解步驟如下：
將 $(x,y,z)$ 投影到屏幕上，就變成了 $(x',y',z')$
原點是視點， $z=-n$ 表示投影平面，利用相似三角形得出投影後的 $x,y$ 座標
現在我們清楚的是，xOy平面的變換過程，但是z怎麼變化尚不清楚。
$x'=\frac{n}{z}x$
$y'=\frac{n}{z}y$
$z'=??$
回顧一個齊次座標的性質
$(x,y,z,1)=(kx,ky,kz,k\ne0)$
$(x,y,z,1)=(xz,yz,z2,z\ne0)$
例子：$(2,0,0,2)=(1,0,0,1)$，都代表三維空間中的點$(1,0,0)$。
在齊次座標中，我們可以根據上面的推倒，寫出：
我們想要求處上面方程中的變換矩陣 $M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}^{(4 \times 4)}$ ，則只需解方程（16）：
由於等號右邊第三行未知，我們只能寫出“壓縮”變換矩陣的一部分：
利用透視投影的性質：將Frustum“壓縮”成Cuboid後，n面和f面的$z$座標不變。
我們將 $z=n$ 帶入方程（16）中，得到方程（18）：
由方程（18），將變換矩陣$M$的第三行單獨拿出來，並且方程右邊的 $n^2$ 肯定與 $x,y$ 無關，所以得到方程（19）：
且我們欲求的變換矩陣 $M_{persp \rightarrow ortho}$ 第三行的前兩個數字也確定了
又因為遠平面 $f$ 的中間點 $(0,0,f)$ 經過變換依然是 $(0,0,f)$ ，所以將 $(0,0,f)$ 帶入方程（16），得到方程（20）：
由方程（19）（20），解得：
則求出“壓縮”變換矩陣 $M_{persp \rightarrow ortho}$ ：
所以，透視投影 $M_{persp}=M_{ortho}M_{persp\rightarrow ortho}$
計算最終結果：
2.2.3.3 關於透視矩陣的練習題
問：在Frustum內部，任意一點經過了“壓縮”變換矩陣 $M_{persp \rightarrow ortho}$ 的變換後，會向哪個方向移動？
答：對於Frustum中的任意一點 $\left(\begin{array}{l}x \y \z \1\end{array}\right)$ ，其中 $(n<x<f)$ ，經過“擠壓”變換都有：
$M_{persp \rightarrow ortho}\left(\begin{array}{l}x \y \z \1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}nx \ny \(n+f)z-nf \z\end{array}\right)$
由於齊次座標的性質，上面等價於：
$\left(\begin{array}{l}nx/z \ny/z \(n+f)-nf/z \1\end{array}\right)$
現在問題轉換為判斷變化前後 $z$ 分量的大小關係。
$\text{let } z=\frac{n+f}{z}$ 經過變化得到點 $z'$
易得 $z'=\frac{n^2+f^2}{n+f}$
使 $z,z'$ 做差，得 $z'-z = \frac{(n-f)^2}{2(n+f)}$
又因為 $0>n>f$
所以 $z'-z<0$ ，所以變化後的點向遠平面靠近（距離屏幕更遠）。
2.2.4 視口變換 viewport transformation
視口（viewport），其實就是攝像機畫面。
做完模型、攝像機、投影變換之後，所有需要的物體都在$[-1,1]^3$這個立方體內了。
我們將$x=-1$放在屏幕的左側，$x=+1$仿仔屏幕的右側，$y=-1$放在屏幕的底部，$y=+1$放在屏幕的頂部。
屏幕上每一個像素都“擁有”1個以整數座標為中心的單位正方形。在渲染的時候，需要將 $[-1,1]^2$ 映射到 $[-0.5,n_x-0.5]*[-0.5,n_y-0.5]$ ，公式如下：
如果需要將 $[-1,1]^2$ 映射到 $[0,n_x]*[0,n_y]$ ，則公式如下：
$z$ 方向沒有任何改變
2.2.5 觀測變換矩陣 $M$
模型、相機、投影、視口
2.2.5 變換模型代碼(c++) C++ Code（附）
模型變換 Modeling Transformation
這裡的3D變換是繞 $z$ 軸旋轉，即變換矩陣（6）：
直接通過3D變換就可以寫出get_model_matrix()模型變換函數。
需要注意：
函數傳入的是角度制，需要先將角度轉換為弧度。
攝像機/視圖變換 camera/view transformation
默認相機的朝向一定正確，只需要調整當前攝像機的位置向量eye_pos至世界座標的原點即可。
投影透視變換 Perspective Projection
本函數需要寫出兩個矩陣：
羅德里格斯旋轉公式代碼實現
實現以下公式即可。
Reference
[1] Fundamentals of Computer Graphics 4th
[2] GAMES101 Lingqi Yan
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