計算機圖形學二：觀測變換 Viewing transformation

本章內容：

  1. 三維變換 3D transformations

  2. 羅德里格斯旋轉公式 Rodrigues' rotation formula

  3. 模型變換 modeling tranformation

  4. 視圖變換 camera/view transformation

  5. 投影變換（正交、透視）projection tranformation

  6. 視口變換 viewport tranformation

  7. 變換模型代碼(c++) C++ Code

第二章 視圖、投影變換

上一章節內容：

  • 什麼是變換矩陣

  • 二維空間的變換：旋轉rotation、縮放scale、剪切shear

  • 齊次座標系Homogeneous coordinates

上一章的內容比較基礎，理解難度不大。本章相較於上一章節，難度較大。

這一章內容：

  • 三維變換 3D transformations

    • 羅德里格斯旋转公式 Rodrigues' rotation formula（難點）

  • 觀測變換（視圖變換） Viewing transformation

    • 模型變換 modeling tranformation

    • 攝像機/視圖變換 camera/view transformation

    • 投影變換 projection tranformation

      • 正交變換 Orthographic projection

      • 透視變換 Perspective projection（難點）

    • 視口變換 viewport tranformation

    • 變換模型代碼(c++) C++ Code

2.1 3D變換 3D Transformations

  • 3D座標 = $(x,y,z,1)^T$

  • 3D向量 = $(x,y,z,0)^T$

  • 在齊次座標系中， $\left(\begin{array}{}x\y\z\w\end{array}\right)$代表三維空間中的一個點$\left(\begin{array}{}x/w\y/w\z/w\1\end{array}\right),w\ne0$ .

  • 用4x4的矩陣表示三位仿射變換：

(x′y′z′1)=(abctxdeftyghitz0001)⋅(xyz1)(1)\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lllc} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right) \tag{1}

2.1.1 縮放與平移 Scale&Translation

基本與二維的旋轉類似。

  • 縮放 Scale

S(sx,sy,sz)=(sx0000sy0000sz00001)(2)\mathbf{S}\left(s_x, s_y, s_z\right)=\left(\begin{array}{cccc} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \tag{2}

  • 平移 Translation

T(tx,ty,tz)=(100tx010ty001tz0001)(3)\mathbf{T}\left(t_x, t_y, t_z\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \tag{3}

2.1.2 拉伸 Shear

可以僅僅進行二維的拉伸：

與2D變換一樣，任何3D變換矩陣都可以用SVD分解為旋轉、縮放和旋轉。任何對稱的3D矩陣都具有旋轉、縮放和逆旋轉的特征值分解。最後，三維旋轉可分解為三維拉伸（Shear）矩陣的乘積。

shear-x⁡(dy,dz)=[1dydz010001](4)\operatorname{shear-x}\left(d_y, d_z\right)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & d_y & d_z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \tag{4}

2.1.3 旋轉 Rotate

比二維旋轉複雜得多，因為可能旋轉的軸更多。但是，我們如果只想繞著某一個軸旋轉，則只會改變另外兩個軸。

2.1.3.1 繞一個軸旋轉

  • 比方說，我們繞z軸旋轉，則只需要改變x和y軸，z軸保持不動（右側是基於齊次座標下的，下面同理）：

rotate-z⁡(ϕ)=[cos⁡ϕ−sin⁡ϕ0sin⁡ϕcos⁡ϕ0001](5)\operatorname{rotate-\mathrm {z}}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \tag{5}
Rx(α)=(10000cos⁡α−sin⁡α00sin⁡αcos⁡α00001)(6)\mathbf{R}_x(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \tag{6}

  • 類似的，繞x軸則只改變y和z：

rotate-x⁡(ϕ)=[1000cos⁡ϕ−sin⁡ϕ0sin⁡ϕcos⁡ϕ](7)\operatorname{rotate-x}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & -\sin \phi \\ 0 & \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right] \tag{7}
Rz(α)=(cos⁡α−sin⁡α00sin⁡αcos⁡α0000100001)(8)\mathbf{R}_z(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \tag{8}

  • 繞y軸同理：

rotate-y⁡(ϕ)=[cos⁡ϕ0sin⁡ϕ010−sin⁡ϕ0cos⁡ϕ](9)\operatorname{rotate-y}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \phi & 0 & \sin \phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \phi & 0 & \cos \phi \end{array}\right] \tag{9}
Ry(α)=(cos⁡α0sin⁡α00100−sin⁡α0cos⁡α00001)(10)\mathbf{R}_y(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ \tag{10}

但是我們發現，y軸 (9),(10) 這裡的有一些奇怪。

  • 思考：為什麼繞著y軸旋轉時，方向是負的呢？

  • 提示：x軸叉乘z軸，等於-y。

2.1.3.2 復合旋轉

  • 將 $\mathbf{R}_x(\alpha),\mathbf{R}_y(\alpha),\mathbf{R}_z(\alpha)$ 復合：

Rxyz(α)=Rx(α)Ry(α)Rz(α)\mathbf{R}_{xyz}(\alpha)=\mathbf{R}_x(\alpha)\mathbf{R}_y(\alpha)\mathbf{R}_z(\alpha)

  • 即歐拉角 Euler angles。

  • 四元數不在本章節討論範圍。

2.1.3.3 羅德里格斯旋转公式 Rodrigues' rotation formula

  • 公式的作用：把任意的旋轉都寫成矩陣的形式。

  • 繞$n$軸旋轉角度$\alpha$:

R(n,α)=cos⁡(α)I+(1−cos⁡(α))nnT+sin⁡(α)(0−nznynz0−nx−nynx0)⏟N(11)\mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha)=\cos (\alpha) \mathbf{I}+(1-\cos (\alpha)) \mathbf{n} \mathbf{n}^T+\sin (\alpha) \underbrace{\left(\begin{array}{ccc} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{array}\right)}_{\mathbf{N}} \tag{11}

  • 其中，$n$軸默認是過圓點$(0,0)$的且是單位向量；$N=n^*$，即$N$是$n$的矩陣形式（需要可以回顧上一章節 1.2.7 的內容）。

  • 推導思路：假設是向量$a$繞著n軸旋轉至**$b$，則將$a$**分解為平行於n軸的分量（發現是不變的）加上垂直於n軸的分量。

  • 詳細推導過程：https://www.bilibili.com/video/BV1Eu411r7GC/

2.2 觀測變換 View Transformation

前面的內容，我們學習了如何使用矩陣變換在2D或3D空間中對物體進行旋轉、平移、縮放和裁切等一系列幾何變換（geo- metric transformations）操作。幾何變換的第二個用途就是用於觀測變換，也就是一種3D到2D的映射。下圖展示了將對象從原始座標轉換到屏幕空間的空間和變換序列：

如圖所示，觀測變換分為四個步驟：

  1. 模型變換 modeling tranformation

  2. 攝像機/視圖變換 camera/view transformation

  3. 投影變換 projection transformation

  4. 視口變換 viewport transformation

提取上面三個步驟的首字母，MVP，也就很容易記住觀測變換的三大步驟了。

接下來，我們依次講解。

2.2.1 模型變換 modeling tranformation

  • 調整場景中模型的位置、大小、旋轉至合適的形態

2.2.2 攝像機/視圖變換 camera/view transformation

  • 我們把計算機圖形想像成一個攝影的過程，攝像機就是鏡頭的中心。

  • 攝像機/視圖變換（下文簡稱攝像機變換）的目的是，獲取所有在攝像機視線範圍的物體與攝像機之間的相對位置。非常直觀的做法就是以攝像機為中心，換一句話說，就是把攝像機調整至世界座標的原點上。怎麼讓攝像機與世界座標原點重合呢？

2.2.2.1 攝像機定義

  • 攝像機的位置 $e$

  • 注視的角度 $g$

  • 攝像機上方向 $t$

  • 通過上面三個定義，即可建立以$e$為原點，基底為 $u,v,w$ 的攝像機座標系（如下圖所示）。

w=−g∥g∥u=t×w∥t×w∥v=w×u(12)\begin{aligned} w & =-\frac{g}{\|g\|} \\ u & =\frac{t \times w}{\|t \times w\|} \\ v & =w \times u \end{aligned} \tag{12}

  • $u,v,w$ 分別對應笛卡爾座標系中的 $x,y,z$

  • $g$ 向量對應 $z$ 軸（ $w$ 軸）的負方向

  • $e$ 向量對應座標原點

2.2.2.2 將相機座標系移動至原世界座標系的原點

分為兩個步驟：

  1. 將相機移動至原點

  2. 通過旋轉矩陣將座標系重合

第一步非常簡單，只需要將當前相機座標減去相機座標，即： $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -x_e \0 & 1 & 0 & -y_e \0 & 0 & 1 & -z_e \0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ .

第二步，由於旋轉變換矩陣是一種正則基矩陣（正交矩陣 The orthogonal matrix），矩陣 $M^T=M^{-1}$ ，所以將單位矩陣$I$旋轉至當前相機狀態的矩陣的逆矩陣則是： $\left[\begin{array}{cccc}x_u & y_u & z_u &0 \x_v & y_v & z_v & 0 \x_w & y_w & z_w & 0 \0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ .

所以，定義相機變換矩陣 $M_{cam}$ ：

Mcam =[uvwe0001]−1=[xuyuzu0xvyvzv0xwywzw00001][100−xe010−ye001−ze0001](13)\mathbf{M}_{\text {cam }}=\left[\begin{array}{cccc} \mathbf{u} & \mathbf{v} & \mathbf{w} & \mathbf{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} x_u & y_u & z_u & 0 \\ x_v & y_v & z_v & 0 \\ x_w & y_w & z_w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \tag{13}

2.2.3 投影變換 projection transformation

https://stackoverflow.com/questions/36573283/from-perspective-picture-to-orthographic-picture

  • 投影變換分為正交投影變換和透視投影變換。

  • 投影變換，簡單的說就是3D->2D的變換。

2.2.3.1 正交投影變換 The Orthographic Projection Transformation

  • 攝像機在世界座標原點，看向 $-Z$ 軸， 正上方是 $Y$ 軸。

  • 將某可視區域長方體壓縮至 $[-1,1]^3$

  • 定義這個長方體，即攝像機可視空間：

    • x = l ≡ left plane,

    • x = r ≡ right plane,

    • y = b ≡ bottom plane,

    • y = t ≡ top plane,

    • z = n ≡ near plane,

    • z = f ≡ far plane.

  • 則很容易推倒出將長方體變換到中心是$(0,0,0)$ 且所在區域是 $[-1,1]^3$ 的變換矩陣$M_{orth}$：

Morth =[2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b002n−f−n+fn−f0001](14)\mathbf{M}_{\text {orth }}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & -\frac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \tag{14}

2.2.3.2 透視投影變換 Perspective Projection

  • 透視和正交的區別（左透視、右正交）：

  • 透視投影過程很簡單，我們先將Frustum“壓縮”成Cuboid，也就是先將透視投影轉換為正交投影，然後就可以利用2.2.3.1的知識做投影變換了。

  • 壓縮如下圖所示。我們需要找出“壓縮”這一步的變換矩陣$M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}^{(4 \times 4)}$。

求解步驟如下：

    1. 將 $(x,y,z)$ 投影到屏幕上，就變成了 $(x',y',z')$

    2. 原點是視點， $z=-n$ 表示投影平面，利用相似三角形得出投影後的 $x,y$ 座標

  • 現在我們清楚的是，xOy平面的變換過程，但是z怎麼變化尚不清楚。

    1. $x'=\frac{n}{z}x$

    2. $y'=\frac{n}{z}y$

    3. $z'=??$

  • 回顧一個齊次座標的性質

    • $(x,y,z,1)=(kx,ky,kz,k\ne0)$

    • $(x,y,z,1)=(xz,yz,z2,z\ne0)$

    • 例子：$(2,0,0,2)=(1,0,0,1)$，都代表三維空間中的點$(1,0,0)$。

  • 在齊次座標中，我們可以根據上面的推倒，寫出：

(xyz1)⇒Mpersp→ortho(4×4)(nx/zny/z unknown 1)==mult. by z(nxny still unknown z)(15)\left(\begin{array}{c}x \\y \\z \\1\end{array}\right)\stackrel{M_{persp\rightarrow ortho}^{(4 \times 4)}} \Rightarrow\left(\begin{array}{c}n x / z \\n y / z \\\text { unknown } \\1\end{array}\right) \stackrel{\text {mult. by z}}{==} \left(\begin{array}{c}n x \\n y \\\text { still unknown } \\z\end{array}\right) \tag{15}

  • 我們想要求處上面方程中的變換矩陣 $M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}^{(4 \times 4)}$ ，則只需解方程（16）：

Mpersp→ortho(4×4)(xyz1)=(nxnyn⋅unknownz)(16)M_{persp\rightarrow ortho}^{(4 \times 4)} \left(\begin{array}{c}x \\y \\z \\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}n x \\n y \\n\cdot \text {unknown} \\z\end{array}\right) \tag{16}

  • 由於等號右邊第三行未知，我們只能寫出“壓縮”變換矩陣的一部分：

Mpersp→ ortho =(n0000n00????0010)(17)M_{p e r s p \rightarrow \text { ortho }}=\left(\begin{array}{cccc} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \tag{17}

  • 利用透視投影的性質：將Frustum“壓縮”成Cuboid後，n面和f面的$z$座標不變。

  • 我們將 $z=n$ 帶入方程（16）中，得到方程（18）：

Mpersp→ortho(4×4)(xyn1)=(nxnyn2n)(18)M_{persp\rightarrow ortho}^{(4 \times 4)} \left(\begin{array}{l}x \\y \\n \\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}n x \\n y \\n^{2} \\n\end{array}\right) \tag{18}

  • 由方程（18），將變換矩陣$M$的第三行單獨拿出來，並且方程右邊的 $n^2$ 肯定與 $x,y$ 無關，所以得到方程（19）：

(00AB)(xyn1)=n2⇒An+B=n2(19)\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & A & B\end{array}\right) \left(\begin{array}{l}x \\y \\n \\1\end{array}\right) =n^2 \Rightarrow An + B =n^2 \tag{19}

  • 且我們欲求的變換矩陣 $M_{persp \rightarrow ortho}$ 第三行的前兩個數字也確定了

  • 又因為遠平面 $f$ 的中間點 $(0,0,f)$ 經過變換依然是 $(0,0,f)$ ，所以將 $(0,0,f)$ 帶入方程（16），得到方程（20）：

(n0000n0000AB0010)(00f1)=(00f2f)⇒Af+b=f2(20)\left(\begin{array}{cccc} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{l}0 \\0 \\f \\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\0 \\f^2 \\f\end{array}\right) \Rightarrow Af+b=f^2 \tag{20}

  • 由方程（19）（20），解得：

{A=n+fB=−nf(21)\left\{\begin{array}{l} A=n+f \\ B=-n f \end{array}\right. \tag{21}

  • 則求出“壓縮”變換矩陣 $M_{persp \rightarrow ortho}$ ：

Mpersp→ortho=(n0000n0000n+f−nf0010)(22)M_{persp\rightarrow ortho}=\left(\begin{array}{cccc} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \tag{22}

  • 所以，透視投影 $M_{persp}=M_{ortho}M_{persp\rightarrow ortho}$

  • 計算最終結果：

Mpersp=[2nr−l0l+rl−r002nt−bb+tb−t000f+nn−f2fnf−n0010](23)\mathbf{M}_{\mathrm{persp}}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{2 n}{r-l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t-b} & \frac{b+t}{b-t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f+n}{n-f} & \frac{2 f n}{f-n} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \tag{23}

2.2.3.3 關於透視矩陣的練習題

  • 問：在Frustum內部，任意一點經過了“壓縮”變換矩陣 $M_{persp \rightarrow ortho}$ 的變換後，會向哪個方向移動？

  • 答：對於Frustum中的任意一點 $\left(\begin{array}{l}x \y \z \1\end{array}\right)$ ，其中 $(n<x<f)$ ，經過“擠壓”變換都有：

  • $M_{persp \rightarrow ortho}\left(\begin{array}{l}x \y \z \1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}nx \ny \(n+f)z-nf \z\end{array}\right)$

  • 由於齊次座標的性質，上面等價於：

  • $\left(\begin{array}{l}nx/z \ny/z \(n+f)-nf/z \1\end{array}\right)$

  • 現在問題轉換為判斷變化前後 $z$ 分量的大小關係。

  • $\text{let } z=\frac{n+f}{z}$ 經過變化得到點 $z'$

  • 易得 $z'=\frac{n^2+f^2}{n+f}$

  • 使 $z,z'$ 做差，得 $z'-z = \frac{(n-f)^2}{2(n+f)}$

  • 又因為 $0>n>f$

  • 所以 $z'-z<0$ ，所以變化後的點向遠平面靠近（距離屏幕更遠）。

2.2.4 視口變換 viewport transformation

  • 視口（viewport），其實就是攝像機畫面。

  • 做完模型、攝像機、投影變換之後，所有需要的物體都在$[-1,1]^3$這個立方體內了。

  • 我們將$x=-1$放在屏幕的左側，$x=+1$仿仔屏幕的右側，$y=-1$放在屏幕的底部，$y=+1$放在屏幕的頂部。

  • 屏幕上每一個像素都“擁有”1個以整數座標為中心的單位正方形。在渲染的時候，需要將 $[-1,1]^2$ 映射到 $[-0.5,n_x-0.5]*[-0.5,n_y-0.5]$ ，公式如下：

Mviewport=[nx200nx−120ny20ny−1200100001](24)M_{\mathrm{viewport}}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{n_x}{2} & 0 & 0 & \frac{n_x-1}{2} \\ 0 & \frac{n_y}{2} & 0 & \frac{n_y-1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \tag{24}

  • 如果需要將 $[-1,1]^2$ 映射到 $[0,n_x]*[0,n_y]$ ，則公式如下：

Mviewport=[nx200nx20ny20ny200100001](25)M_{\mathrm{viewport}}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{n_x}{2} & 0 & 0 & \frac{n_x}{2} \\ 0 & \frac{n_y}{2} & 0 & \frac{n_y}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \tag{25}

  • $z$ 方向沒有任何改變

2.2.5 觀測變換矩陣 $M$

M=MviewportMperspMcamMmodel(26)M=M_{viewport}M_{persp}M_{cam}M_{model} \tag{26}

  • 模型、相機、投影、視口

2.2.5 變換模型代碼(c++) C++ Code（附）

  1. 模型變換 Modeling Transformation

這裡的3D變換是繞 $z$ 軸旋轉，即變換矩陣（6）：

Rx(α)=(10000cos⁡α−sin⁡α00sin⁡αcos⁡α00001)(6)\mathbf{R}_x(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ \tag{6}

直接通過3D變換就可以寫出get_model_matrix()模型變換函數。

需要注意：

  • 函數傳入的是角度制，需要先將角度轉換為弧度。

Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle)
{
    Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity();
    auto radian = (float)(rotation_angle/180.0*MY_PI);
    Eigen::Matrix4f translate;
    translate << cos(radian),-sin(radian),0,0,
                 sin(radian),cos(radian),0,0,
                 0,0,1,0,
                 0,0,0,1;
    model = translate * model;
    return model;
}

  1. 攝像機/視圖變換 camera/view transformation

默認相機的朝向一定正確，只需要調整當前攝像機的位置向量eye_pos至世界座標的原點即可。

Eigen::Matrix4f get_view_matrix(Eigen::Vector3f eye_pos)
{
    Eigen::Matrix4f view = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f translate;
    translate << 1, 0, 0, -eye_pos[0],
                 0, 1, 0, -eye_pos[1],
                 0, 0, 1,  eye_pos[2],
                 0, 0, 0, 1;
    view = translate * view;
    return view;
}

  1. 投影透視變換 Perspective Projection

本函數需要寫出兩個矩陣：

Mpersp→ortho=(n0000n0000n+f−nf0010)(22)M_{persp\rightarrow ortho}=\left(\begin{array}{cccc} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \tag{22}
Morth =(2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b002n−f−n+fn−f0001)(14)\mathbf{M}_{\text {orth }}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & -\frac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \tag{14}
Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio, float zNear, float zFar){
    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f M_p2o = Eigen::Matrix4f ::Identity();
    M_p2o <<    zNear,0,0,0,
                0,zNear,0,0,
                0,0,zNear+zFar,-zNear*zFar,
                0,0,1,0;
    Eigen::Matrix4f M_orth = Eigen::Matrix4f ::Identity();
    float fov = 0.5*eye_fov*MY_PI/180;
    float top = tan(fov) * zNear;
    float bottom = -top;
    float right = top * aspect_ratio;
    float left = -right;
    M_orth <<   2/(right-left),0,0,-(right+left)/(right-left),
                0,2/(top-bottom),0,-(top+bottom)/(top-bottom),
                0,0,2/(zNear-zFar),-(zNear+zFar)/(zNear-zFar),
                0,0,0,1;
    projection = M_orth * M_p2o;
    return projection;
}

  1. 羅德里格斯旋轉公式代碼實現

實現以下公式即可。

R(n,α)=cos⁡(α)I+(1−cos⁡(α))nnT+sin⁡(α)(0−nznynz0−nx−nynx0)⏟N(11)\mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha)=\cos (\alpha) \mathbf{I}+(1-\cos (\alpha)) \mathbf{n} \mathbf{n}^T+\sin (\alpha) \underbrace{\left(\begin{array}{ccc} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{array}\right)}_{\mathbf{N}} \tag{11}
Eigen::Matrix4f get_rotation(Vector3f axis, float angle){
    Eigen::Matrix4f M_rodrigues = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix3f M_temp_rodrigues = Eigen::Matrix3f::Identity();
    Eigen::Matrix3f M_I = Eigen::Matrix3f::Identity();
    Eigen::Matrix3f M_N;
    M_N <<  0, -axis[2], axis[1],
            axis[2], 0, -axis[0],
            -axis[1], axis[0], 0;
    auto radian = (float)(angle/180.0*MY_PI);
    M_temp_rodrigues << cos(radian)*M_I+(1-cos(radian))*axis*axis.transpose()+sin(radian)*M_N;
    M_rodrigues <<  M_temp_rodrigues(0,0), M_temp_rodrigues(0,1), M_temp_rodrigues(0,2), 0,
            M_temp_rodrigues(1,0), M_temp_rodrigues(1,1), M_temp_rodrigues(1,2), 0,
            M_temp_rodrigues(2,0), M_temp_rodrigues(2,1), M_temp_rodrigues(2,2), 0,
            0, 0, 0, 1;
    return M_rodrigues;
}

Reference

[1] Fundamentals of Computer Graphics 4th

[2] GAMES101 Lingqi Yan

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