計算機圖形學一：數學基礎 Transformation&Homogeneous

本章快速瀏覽計算機圖形學相關的數學知識，包裹：

1. 向量 Vector

2. 矩陣 Matrix

3. 基礎變換矩陣 Transformation Matrices

4. 齊次坐標 Homogeneous coordinates

第一章 數學基礎

需要掌握的數學基礎：

1. Linear algebra（重點）

2. calculus

3. statistics

對於計算機圖形學，更多需要掌握的是線性代數的

• 向量（點積，叉積）

• 矩陣

1.1 向量 Vector

1.1.1 寫法

• 一般寫作 $\vec{a}$ 或者加粗的 a

• 或者寫作 $\overrightarrow{A B}=B-A$

• 有長度、方向

• 不規定起點

1.1.2 標準化 Normalization

• 向量的長度（Magnitude or length）寫作 $\|\vec{a}\|$

• 單位向量

  • 長度為1的向量

  • 將向量標準化 $\hat{a}=\vec{a} /|\vec{a}|$

  • 用於表示向量的方向

1.1.3 向量運算 Vector Operations

向量加法 Vector Addition

• 幾何滿足：平行四邊形法則 & 三角形法則

• 代數滿足：向量各分量相加

1.1.4 笛卡爾座標系 Cartesian Coordinates

$$A=\left(\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right)$$

$$\quad A^T=(x, y)$$

$$\quad\|A\|=\sqrt{x^2+y^2}$$

1.1.5 向量點積 Dot (scalar) Product

$$\begin{gathered} \vec{a} \cdot \vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| \cos \theta \\ \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|} \end{gathered}$$

• Dot product properties:

$$a \cdot b=b \cdot a \\ a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c \\ (k a) \cdot b=a \cdot(k b)=k a \cdot b$$

• Dot Product in Cartesian Coordinates

$$\begin{aligned} &-\ln 2 \mathrm{D} \\ & \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l} x_a \\ y_a \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_b \\ y_b \end{array}\right)=x_a x_b+y_a y_b \\ &-\ln 3 \mathrm{D} \\ & \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)=x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b \end{aligned}$$

• 點積應用

  • 求兩個向量的夾角

  • 找向量在另一個向量的投影

  • 衡量兩個向量的方向的相似度

  • 分解向量

  • ...

1.1.6 向量叉積 Cross (vector) Product

$$\|a \times b\|=\|a\|\|b\| \sin \phi$$

• 滿足右手系

• Cross product properties:

$$x×y = +z, \\ y×x = −z, \\ y×z = +x, \\ z×y = −x, \\ z×x = +y, \\ x×z = −y.$$

• 叉積：笛卡爾公式

$$\vec{a} \times \vec{b}=\left(\begin{array}{c} y_a z_b-y_b z_a \\ z_a x_b-x_a z_b \\ x_a y_b-y_a x_b \end{array}\right)$$

$$\vec{a} \times \vec{b}=A^* b=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)$$

推導過程：

$$\begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b}= & \left(x_a \mathbf{x}+y_a \mathbf{y}+z_a \mathbf{z}\right) \times\left(x_b \mathbf{x}+y_b \mathbf{y}+z_b \mathbf{z}\right) \\ = & x_a x_b \mathbf{x} \times \mathbf{x}+x_a y_b \mathbf{x} \times \mathbf{y}+x_a z_b \mathbf{x} \times \mathbf{z} \\ & +y_a x_b \mathbf{y} \times \mathbf{x}+y_a y_b \mathbf{y} \times \mathbf{y}+y_a z_b \mathbf{y} \times \mathbf{z} \\ & +z_a x_b \mathbf{z} \times \mathbf{x}+z_a y_b \mathbf{z} \times \mathbf{y}+z_a z_b \mathbf{z} \times \mathbf{z} \\ = & \left(y_a z_b-z_a y_b\right) \mathbf{x}+\left(z_a x_b-x_a z_b\right) \mathbf{y}+\left(x_a y_b-y_a x_b\right) \mathbf{z} . \end{aligned}$$

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left(y_a z_b-z_a y_b, z_a x_b-x_a z_b, x_a y_b-y_a x_b\right)$$

1.1.7 標準正交基和座標系

• 對任意3個向量有

$$\begin{gathered} \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=\|\vec{w}\|=1 \\ \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot \vec{w}=0 \\ \vec{w}=\vec{u} \times \vec{v} \quad \text { (right-handed) } \\ \vec{p}=(\vec{p} \cdot \vec{u}) \vec{u}+(\vec{p} \cdot \vec{v}) \vec{v}+(\vec{p} \cdot \vec{w}) \vec{w} \end{gathered}$$

1.2 矩陣 Matrix

• 在圖形學中，矩陣可以表示為：平移、旋轉、剪切和縮放

1.2.1 定義

• m行n列的數組

$$\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 5 & 6 \\ 1 & 4 \end{array}\right)$$

1.2.2 矩陣乘法

$$\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1 m} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i 1} & \ldots & a_{i m} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & \ldots & a_{r m} \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc} b_{11} & \ldots & b_{1 j} & \ldots & b_{1 c} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{m 1} & \ldots & b_{m j} & \ldots & b_{m c} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc} p_{11} & \cdots & p_{1 j} & \cdots & p_{1 c} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ p_{i 1} & \cdots & p_{i j} & \cdots & p_{i c} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ p_{r 1} & \cdots & p_{r j} & \cdots & p_{r c} \end{array}\right]$$

其中，

$$p_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i m} b_{m j}$$

1.2.3 矩陣性質 Properties

• 沒有交換律

  • AB BA不相等

• 結合律和分配律

  • (AB)C = A(BC)

  • A(B+C) = AB + AC

  • (A+B)C = AC + BC

1.2.4 矩陣向量乘法 Matrix-Vector Multiplication

• 關於 y 軸翻轉

$$\left(\begin{array}{} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{} -x \\ y \end{array}\right)$$

• 關於 x 軸翻轉

$$\left(\begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{} x \\ -y \end{array}\right)$$

1.2.5 矩陣轉置 Transpose of a Matrix

• 交換行列（ij -> ji）

$$\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array}\right)^T=\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right)$$

• 性質

$$(A B)^T=B^T A^T$$

1.2.6 單位矩陣和逆矩陣 Identity Matrix and Inverses

$$I_{3 \times 3}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\$$

$$A A^{-1}=A^{-1} A=I \\$$

$$(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$$

1.2.7 矩陣形式的向量乘法

• 點積

$$\begin{aligned} & \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a}^T \vec{b} \\ = & \left(\begin{array}{lll} x_a & y_a & z_a \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)=\left(x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b\right) \end{aligned}$$

• 叉積

$$\vec{a} \times \vec{b}=A^* b=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)$$

1.3 基礎變換矩陣 Transformation Matrices

• 用矩陣表示轉換

• 縮放（scale）、 翻轉（Reflection）、旋轉（Rotation）、拉伸（shear）

1.3.1 縮放矩陣 Scale Matrix

• 縮放定義為：

$$\operatorname{scale}\left(s_x, s_y\right)=\left[\begin{array}{cc} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{array}\right] .$$

• 縮放對矩陣做了什麼？

$$\left[\begin{array}{cc} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} s_x x \\ s_y y \end{array}\right] .$$

• 例子：

$$ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} s & 0 \\ 0 & s \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] $$ $$ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] $$

1.3.2 翻轉矩陣 Reflection Matrix

• 定義：

$$\operatorname{reflect-x}(s)=\left[\begin{array}{} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] , \operatorname{reflect-y}(s)=\left[\begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]$$

• 水平翻轉

$$\begin{aligned} & x^{\prime}=-x \\ & y^{\prime}=y \end{aligned} \quad\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]$$

1.3.3 拉伸矩陣 Shear Matrix

• 定義：

$$\operatorname{shear-x}(s)=\left[\begin{array}{} 1 & s \\ 0 & 1 \end{array}\right] , \operatorname{shear-y}(s)=\left[\begin{array}{} 1 & 0 \\ s & 1 \end{array}\right]$$

• 例子：

$$ \left[\begin{array}{} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{} x \\ y \end{array}\right] $$

1.3.4 旋轉矩陣 Rotation Matrix

• 默認關於原點（0,0）逆時針旋轉

$$ \mathbf{R}_\theta=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] $$

1.4 齊次坐標 Homogeneous coordinates

• 思考：為什麼引入齊次座標？

• 答：為了解決平移問題，因為「平移」這個操作無法在現有的一處變換矩陣中表示。詳細解釋如下：

我們想要表示下面的平移矩陣，

$$ \begin{aligned} & x^{\prime}=x+t_x \\ & y^{\prime}=y+t_y \end{aligned} $$ 顯然的，這個變換並不是**線性變換**。 $$ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} t_x \\ t_y \end{array}\right] $$

• 如何用統一的方式表示平移和基礎變換呢？

• 答案就是 齊次坐標 Homogeneous coordinates。

1.4.1 定義

在原來的座標/向量中增加多一個維度 $ w $。

• 2D座標 = $(x,y,1)^T$

• 2D向量 = $(x,y,0)^T$

  • 例子：$\left[\begin{array}{}2\3\1\end{array}\right]$是一個座標，$\left[\begin{array}{}2\3\0\end{array}\right]$是一個向向量。

1.4.2 性質

• 用矩陣表示變換（translations）：

$$\left(\begin{array}{c} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ w^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x+t_x \\ y+t_y \\ 1 \end{array}\right)$$

• 其中，$w$維度只允許0或1

  • 向量 + 向量 = 向量

  • 座標 - 座標 = 向量

  • 座標 + 向量 = 座標

  • 座標 + 座標 = 不合法！

• 在齊次座標系中，$\left(\begin{array}{}x\y\w\end{array}\right)$代表二維空間中的一個點$\left(\begin{array}{}x/w\y/w\1\end{array}\right),w\ne0$.

1.4.3 仿射映射&齊次座標 Affine map & HC

• Affine map = linear map + translation

$$\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} t_x \\ t_y \end{array}\right]$$

• Using HC

$$\left(\begin{array}{c} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ w^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right)$$

1.4.4 2D變換 2D Transformations

$$\begin{aligned} &Scale:\mathbf{S}\left(s_x, s_y\right)=\left(\begin{array}{ccc} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ &Rotation:\mathbf{R}(\alpha)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ &Translation:\mathbf{T}\left(t_x, t_y\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}$$

1.4.5 逆變換 Inverse Transform

1.4.5 變換的分解與合成 Composition and Decomposition of Transformations

• 思考：先平移再縮放還是先縮放再平移？

• 答：先縮放再平移。

• 圖解：

  
• 原因是，矩陣不存在交換律。

$$R_{45} \cdot T_{(1,0)} \neq T_{(1,0)} \cdot R_{45}$$

• 注意，矩陣是從右算到左：

$$T_{(1,0)} \cdot R_{45}\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} & 0 \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right]$$

1.4.5.1 合成

• 我們可以把上面式子中的旋轉矩陣和平移矩陣合而為一，理論依據：

$$A_n\left(\ldots A_2\left(A_1(\mathbf{x})\right)\right)=\mathbf{A}_n \cdots \mathbf{A}_2 \cdot \mathbf{A}_1 \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right)$$

1.4.5.2 分解

• 思考：怎麼使一個圖像繞任意點 $c$ 旋轉呢？

• 答：平移 $c$ 點到原點 $(0,0)$ ，旋轉，再平移回去。

  即：$T(c)\cdot R(\alpha)\cdot T(-c)$

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Reference

[1] Fundamentals of Computer Graphics 4th

[2] GAMES101 Lingqi Yan